Rezolvați 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-4 b=-3$$

Rescrieți 3x^{2}-7x+4 ca \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-4=0 și x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -7 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Adunați 49 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±1}{6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±1}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{49}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$