Rezolvați 3x^2-7x+2=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-7 ab=3\times 2=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 6 de produs.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-6 b=-1$$

Rescrieți 3x^{2}-7x+2 ca \left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-2=0 și 3x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -7 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 2}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 3}$$

Adunați 49 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 3}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{7±5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±5}{6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 5.

$$x=\frac{12}{6}$$

Împărțiți 12 la 6.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±5}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-7x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-7x=-2$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

Adunați -\frac{2}{3} cu \frac{49}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$

Factorul x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{5}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$