Rezolvați 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+84. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Soluția este perechea care dă suma de -32.

$$a=-18 b=-14$$

Rescrieți 3x^{2}-32x+84 ca \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Factor 3x în primul și -14 în al doilea grup.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -32 și c cu 84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Adunați 1024 cu -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±4}{6} atunci când ± este plus. Adunați 32 cu 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Împărțiți 36 la 6.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±4}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Reduceți fracția \frac{28}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Scădeți 84 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Scăderea 84 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Împărțiți -84 la 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Împărțiți -\frac{32}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{16}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{16}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{16}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Adunați -28 cu \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Adunați \frac{16}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$