Rezolvați 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -20 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Adunați 400 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Împărțiți 20+2\sqrt{97} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{97} din 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Împărțiți 20-2\sqrt{97} la 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{20}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{10}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{10}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{10}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{100}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Adunați \frac{10}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$