Rezolvați 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-8 b=6$$

Rescrieți 3x^{2}-2x-16 ca \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-8=0 și x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -2 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Adunați 4 cu 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±14}{6} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{16}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±14}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Adunați 16 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Scăderea -16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Scădeți -16 din 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{16}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$