Rezolvați 3x^2-16x+16=0

$$3 x ^ { 2 } - 16 x + 16 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-12 b=-4$$

Rescrieți 3x^{2}-16x+16 ca \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Factor 3x în primul și -4 în al doilea grup.

$$3x\left(x-4\right)-4\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 3x-4=0.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -16 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 16}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2\times 3}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$x=\frac{16±8}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{16±8}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8}{6} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 8.

$$x=\frac{24}{6}$$

Împărțiți 24 la 6.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 16.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-16x+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-16x=-16$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-16x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{16}{3}$$

Împărțiți -\frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Adunați -\frac{16}{3} cu \frac{64}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Adunați \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$