Rezolvați 3x^2-15x-6=3

$$3 x ^ { 2 } - 15 x - 6 = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 5}{2} \approx 5,541381265$$

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0,541381265$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-15x-6-3=3-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-15x-6-3=0$$

Scădeți 3 din -6.

$$3x^{2}-15x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -15 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+108}}{2\times 3}$$

Adunați 225 cu 108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{333}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 333.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 3\sqrt{37}.

$$x=\frac{3\sqrt{37}+15}{6}$$

Împărțiți 15+3\sqrt{37} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{37} din 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{37}}{6}$$

Împărțiți 15-3\sqrt{37} la 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-15x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-15x=3-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 3.

$$3x^{2}-15x=9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{9}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

Împărțiți -15 la 3.

$$x^{2}-5x=\frac{9}{3}$$

Împărțiți 9 la 3.

$$x^{2}-5x=3$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$$

Adunați 3 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$