Rezolvați 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 3, b cu -11 și c cu -4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{11±13}{6} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-4 și x+\frac{1}{3} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-4 este pozitiv și x+\frac{1}{3} este negativ.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+\frac{1}{3} este pozitiv și x-4 este negativ.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$