Rezolvați 3x^2-10x=48

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 48 din ambele părți.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-18 b=8$$

Rescrieți 3x^{2}-10x-48 ca \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

Factor 3x în primul și 8 în al doilea grup.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-10x=48$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -10 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Adunați 100 cu 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±26}{6} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Împărțiți 36 la 6.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±26}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x=48$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Împărțiți 48 la 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Împărțiți -\frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Adunați 16 cu \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$