Rezolvați 3x^2-x/5=8

$$3 x ^ { 2 } - \frac { x } { 5 } = 8$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5.

$$15x^{2}-x=40$$

Scădeți 40 din ambele părți.

$$15x^{2}-x-40=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx-40. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=15\left(-40\right)=-600$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-25 b=24$$

Rescrieți 15x^{2}-x-40 ca \left(15x^{2}-25x\right)+\left(24x-40\right).

$$\left(15x^{2}-25x\right)+\left(24x-40\right)$$

Factor 5x în primul și 8 în al doilea grup.

$$5x\left(3x-5\right)+8\left(3x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-5\right)\left(5x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-5=0 și 5x+8=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{8}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5.

$$15x^{2}-x=40$$

Scădeți 40 din ambele părți.

$$15x^{2}-x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu -1 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 15\left(-40\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-60\left(-40\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2400}}{2\times 15}$$

Adunați 1 cu 2400.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2401}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2401.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±49}{2\times 15}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±49}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{1±49}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±49}{30} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 49.

$$x=\frac{50}{30}$$

Reduceți fracția \frac{50}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±49}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 49 din 1.

$$x=-\frac{48}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{8}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5.

$$15x^{2}-x=40$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}-x}{15}=\frac{40}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}-\frac{1}{15}x=\frac{40}{15}$$

Reduceți fracția \frac{40}{15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{1}{15}x=\frac{8}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{30}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{30} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{15}x+\left(-\frac{1}{30}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{1}{30}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{30} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}=\frac{8}{3}+\frac{1}{900}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{1}{900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}=\frac{2401}{900}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{30}\right)^{2}=\frac{2401}{900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{900}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{30}=\frac{49}{30} x-\frac{1}{30}=-\frac{49}{30}$$

Adunați \frac{1}{30} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{8}{5}$$