Rezolvați 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-3 b=4$$

Rescrieți 3x^{2}+x-4 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Factor 3x în primul și 4 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 1 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$