Rezolvați 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+x=11$$

Scădeți 11 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Scăderea 11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 1 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Adunați 1 cu 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{133} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=11$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{11}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$