Rezolvați 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 90 din ambele părți.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Scădeți 90 din 6 pentru a obține -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-4 b=7$$

Rescrieți x^{2}+3x-28 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Factor x în primul și 7 în al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Scădeți 90 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Scăderea 90 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Scădeți 90 din 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 9 și c cu -84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Adunați 81 cu 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±33}{6} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Împărțiți 24 la 6.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±33}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 33 din -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Împărțiți -42 la 6.

$$x=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Scădeți 6 din 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Împărțiți 9 la 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Împărțiți 84 la 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adunați 28 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-7$$