Rezolvați 3x^2+8x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=2 b=6$$

Rescrieți 3x^{2}+8x+4 ca \left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+2=0 și x+2=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 8 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu -48.

$$x=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-8±4}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-8±4}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±4}{6} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 4.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±4}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -8.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+8x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+8x=-4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$