Rezolvați 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Împărțiți -4+2\sqrt{7} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Împărțiți -4-2\sqrt{7} la 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$