Rezolvați 3x^2+36x+81=0

$$3 x ^ { 2 } + 36 x + 81 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 27.

$$1,27 3,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+27=28 3+9=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=3 b=9$$

Rescrieți x^{2}+12x+27 ca \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Scoateți termenul comun x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+3=0 și x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 36 și c cu 81 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Ridicați 36 la pătrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-12\times 81}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 81.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-972}}{2\times 3}$$

Adunați 1296 cu -972.

$$x=\frac{-36±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-36±18}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-36±18}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-36±18}{6} atunci când ± este plus. Adunați -36 cu 18.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Împărțiți -18 la 6.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-36±18}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din -36.

$$x=-\frac{54}{6}$$

Împărțiți -54 la 6.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Scădeți 81 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+36x+81-81=-81$$

Scăderea 81 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+36x=-81$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+36x}{3}=-\frac{81}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{36}{3}x=-\frac{81}{3}$$

Împărțiți 36 la 3.

$$x^{2}+12x=-\frac{81}{3}$$

Împărțiți -81 la 3.

$$x^{2}+12x=-27$$

Împărțiți 12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 6. Apoi, adunați pătratul lui 6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Adunați -27 cu 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Factor x^{2}+12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3 x=-9$$