Rezolvați 3x^2+24x+49=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 49 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4-0,577350269i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 24 și c cu 49 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 49}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 49.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-588}}{2\times 3}$$

Adunați 576 cu -588.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-12}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -12.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -24 cu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-24+2\sqrt{3}i}{6}$$

Împărțiți -24+2i\sqrt{3} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3} din -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-24}{6}$$

Împărțiți -24-2i\sqrt{3} la 6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Scădeți 49 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+24x+49-49=-49$$

Scăderea 49 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+24x=-49$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{49}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{49}{3}$$

Împărțiți 24 la 3.

$$x^{2}+8x=-\frac{49}{3}$$

Împărțiți 8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 4. Apoi, adunați pătratul lui 4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-\frac{49}{3}+4^{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{49}{3}+16$$

Adunați -\frac{49}{3} cu 16.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{1}{3}$$

Factor x^{2}+8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-\frac{1}{3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{3}}$$

Simplificați.

$$x+4=\frac{\sqrt{3}i}{3} x+4=-\frac{\sqrt{3}i}{3}$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$