Rezolvați 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Adunați 4 cu -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Împărțiți -2+2i\sqrt{2} la 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{2} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Împărțiți -2-2i\sqrt{2} la 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$