Rezolvați 3x^2+2-(5x-50)^2=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 - ( 5 x - 50 ) ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1886} + 125}{11} \approx 15,311645591$$

$$x = \frac{125 - \sqrt{1886}}{11} \approx 7,415627136$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-50\right)^{2}.

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 25x^{2}-500x+2500, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Combinați 3x^{2} cu -25x^{2} pentru a obține -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Scădeți 2500 din 2 pentru a obține -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-22x^{2}+500x-2498=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -22, b cu 500 și c cu -2498 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-500±\sqrt{500^{2}-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Ridicați 500 la pătrat.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -22.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000+88\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Înmulțiți 88 cu -2498.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-219824}}{2\left(-22\right)}$$

Adunați 250000 cu -219824.

$$x=\frac{-500±\sqrt{30176}}{2\left(-22\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 30176.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{2\left(-22\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -22.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44} atunci când ± este plus. Adunați -500 cu 4\sqrt{1886}.

$$x=\frac{4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

Împărțiți -500+4\sqrt{1886} la -44.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{1886} din -500.

$$x=\frac{-4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

Împărțiți -500-4\sqrt{1886} la -44.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11} x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-50\right)^{2}.

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 25x^{2}-500x+2500, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Combinați 3x^{2} cu -25x^{2} pentru a obține -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Scădeți 2500 din 2 pentru a obține -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Adăugați 2498 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-22x^{2}+500x=2498$$

Se împart ambele părți la -22.

$$\frac{-22x^{2}+500x}{-22}=\frac{2498}{-22}$$

Împărțirea la -22 anulează înmulțirea cu -22.

$$x^{2}+\frac{500}{-22}x=\frac{2498}{-22}$$

Reduceți fracția \frac{500}{-22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=\frac{2498}{-22}$$

Reduceți fracția \frac{2498}{-22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=-\frac{1249}{11}$$

Împărțiți -\frac{250}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{125}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{125}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}=-\frac{1249}{11}+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{125}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=-\frac{1249}{11}+\frac{15625}{121}$$

Adunați -\frac{1249}{11} cu \frac{15625}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=\frac{1886}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}=\frac{1886}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1886}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{125}{11}=\frac{\sqrt{1886}}{11} x-\frac{125}{11}=-\frac{\sqrt{1886}}{11}$$

Adunați \frac{125}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11} x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$