Rezolvați 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-35. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=-5 b=21$$

Rescrieți 3x^{2}+16x-35 ca \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Factor x în primul și 7 în al doilea grup.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-5=0 și x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 16 și c cu -35 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±26}{6} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±26}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Împărțiți -42 la 6.

$$x=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Adunați 35 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Scăderea -35 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Scădeți -35 din 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Împărțiți \frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Adunați \frac{35}{3} cu \frac{64}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Scădeți \frac{8}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$