Rezolvați 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=-2 b=18$$

Rescrieți 3x^{2}+16x-12 ca \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 16 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±20}{6} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±20}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Împărțiți -36 la 6.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Împărțiți 12 la 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Împărțiți \frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Adunați 4 cu \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Scădeți \frac{8}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$