Rezolvați 3x^2+15x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 12 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 15 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2\times 3}$$

Adunați 225 cu 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 369.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -15 cu 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{6}$$

Împărțiți -15+3\sqrt{41} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{41} din -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{6}$$

Împărțiți -15-3\sqrt{41} la 6.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+15x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$3x^{2}+15x=12$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{12}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{12}{3}$$

Împărțiți 15 la 3.

$$x^{2}+5x=\frac{12}{3}$$

Împărțiți 12 la 3.

$$x^{2}+5x=4$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$