Rezolvați 3x^2+13x-10<0

$$3 x ^ { 2 } + 13 x - 10 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+13x-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 3, b cu 13 și c cu -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-13±17}{6}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-13±17}{6} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{2}{3} x=-5$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{2}{3} și x+5 trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{2}{3} este pozitiv și x+5 este negativ.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+5<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+5 este pozitiv și x-\frac{2}{3} este negativ.

$$x+5>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$