Rezolvați 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 6y din ambele părți.

$$3x+9-6y=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x-6y=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 12 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-2x-2y=12$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x-6y=-9$$

Adunați 6y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=6y-9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu 6y-9.

$$x=2y-3$$

Înlocuiți x cu 2y-3 în cealaltă ecuație, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Înmulțiți -2 cu 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Adunați -4y cu -2y.

$$-6y+6=12$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$-6y=6$$

Se împart ambele părți la -6.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=2y-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=-2-3$$

Adunați -3 cu -2.

$$x=-5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-5,y=-1$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 6y din ambele părți.

$$3x+9-6y=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x-6y=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 12 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-2x-2y=12$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-5,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 6y din ambele părți.

$$3x+9-6y=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x-6y=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 12 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-2x-2y=12$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pentru a egala 3x și -2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplificați.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Scădeți pe -6x-6y=36 din -6x+12y=18 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Adunați -6x cu 6x. Termenii -6x și 6x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$12y+6y=18-36$$

Adunați 12y cu 6y.

$$18y=18-36$$

Adunați 18 cu -36.

$$18y=-18$$

Se împart ambele părți la 18.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în -2x-2y=12. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Înmulțiți -2 cu -1.

$$-2x+2=12$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x=10$$

Se împart ambele părți la -2.

$$x=-5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-5,y=-1$$