Rezolvați 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=4 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+3x+4 ca \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±5}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±5}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Împărțiți -8 la -2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Scădeți 5 din 1 pentru a obține -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Împărțiți -4 la -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-1$$