Rezolvați 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+2y=8$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$3x=-2y+8$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{-2y+8}{3} în cealaltă ecuație, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Înmulțiți 5 cu \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Adunați -\frac{10y}{3} cu -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Scădeți \frac{40}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{22}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Adunați \frac{8}{3} cu -\frac{2}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Pentru a egala 3x și 5x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Simplificați.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Scădeți pe 15x-12y=18 din 15x+10y=40 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Adunați 15x cu -15x. Termenii 15x și -15x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$10y+12y=40-18$$

Adunați 10y cu 12y.

$$22y=40-18$$

Adunați 40 cu -18.

$$22y=22$$

Se împart ambele părți la 22.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în 5x-4y=6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$5x-4=6$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$5x=10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=1$$