Rezolvați 3w^2-12w+7=0

$$3 w ^ { 2 } - 12 w + 7 = 0$$

Rezolvați pentru w

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 3,290994449$$

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 0,709005551$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -12 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 7.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-84}}{2\times 3}$$

Adunați 144 cu -84.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{60}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 60.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 2\sqrt{15}.

$$w=\frac{2\sqrt{15}+12}{6}$$

Împărțiți 12+2\sqrt{15} la 6.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{15} din 12.

$$w=\frac{12-2\sqrt{15}}{6}$$

Împărțiți 12-2\sqrt{15} la 6.

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$3w^{2}-12w+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3w^{2}-12w=-7$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3w^{2}-12w}{3}=-\frac{7}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$w^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)w=-\frac{7}{3}$$

Împărțiți -12 la 3.

$$w^{2}-4w=-\frac{7}{3}$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$w^{2}-4w+\left(-2\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$w^{2}-4w+4=-\frac{7}{3}+4$$

Adunați -\frac{7}{3} cu 4.

$$w^{2}-4w+4=\frac{5}{3}$$

Factor w^{2}-4w+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-2\right)^{2}=\frac{5}{3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(w-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$

Simplificați.

$$w-2=\frac{\sqrt{15}}{3} w-2=-\frac{\sqrt{15}}{3}$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$