Rezolvați 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Rezolvați pentru v

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$v=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3v^{2}+av+bv-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-3 b=8$$

Rescrieți 3v^{2}+5v-8 ca \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right).

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Factor 3v în primul și 8 în al doilea grup.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Scoateți termenul comun v-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați v-1=0 și 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-5±11}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$v=1$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-5±11}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$v=-\frac{8}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Scăderea -8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Scădeți -8 din 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Factor v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Simplificați.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$