Rezolvați 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Descompunere în factori

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3t^{2}+at+bt-32. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=-4 b=24$$

Rescrieți 3t^{2}+20t-32 ca \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Factor t în primul și 8 în al doilea grup.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3t-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Adunați 400 cu 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±28}{6} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±28}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Împărțiți -48 la 6.

$$t=-8$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu -8.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din t găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Evaluați

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$