Rezolvați 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Rezolvați pentru q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 3q^{2}+aq+bq+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 48 de produs.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-16 b=-3$$

Rescrieți 3q^{2}-19q+16 ca \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Scoateți scoateți factorul q din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Scoateți termenul comun 3q-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3q-16=0 și q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -19 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Adunați 361 cu -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{19±13}{6} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Reduceți fracția \frac{32}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{19±13}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$q=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Împărțiți -\frac{19}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Adunați -\frac{16}{3} cu \frac{361}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Factorul q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplificați.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Adunați \frac{19}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$