Rezolvați 3q^2-143q+1602

$$3 q ^ { 2 } - 143 q + 1602$$

Descompunere în factori

$$\left(q-18\right)\left(3q-89\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3q^{2}+aq+bq+1602. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-143 ab=3\times 1602=4806$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 4806.

$$-1,-4806 -2,-2403 -3,-1602 -6,-801 -9,-534 -18,-267 -27,-178 -54,-89$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4806=-4807 -2-2403=-2405 -3-1602=-1605 -6-801=-807 -9-534=-543 -18-267=-285 -27-178=-205 -54-89=-143$$

Soluția este perechea care dă suma de -143.

$$a=-89 b=-54$$

Rescrieți 3q^{2}-143q+1602 ca \left(3q^{2}-89q\right)+\left(-54q+1602\right).

$$\left(3q^{2}-89q\right)+\left(-54q+1602\right)$$

Factor q în primul și -18 în al doilea grup.

$$q\left(3q-89\right)-18\left(3q-89\right)$$

Scoateți termenul comun 3q-89 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3q-89\right)\left(q-18\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3q^{2}-143q+1602=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±\sqrt{\left(-143\right)^{2}-4\times 3\times 1602}}{2\times 3}$$

Ridicați -143 la pătrat.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±\sqrt{20449-4\times 3\times 1602}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±\sqrt{20449-12\times 1602}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 1602.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±\sqrt{20449-19224}}{2\times 3}$$

Adunați 20449 cu -19224.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±\sqrt{1225}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1225.

$$q=\frac{-\left(-143\right)±35}{2\times 3}$$

Opusul lui -143 este 143.

$$q=\frac{143±35}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$q=\frac{143±35}{6}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{143±35}{6} atunci când ± este plus. Adunați 143 cu 35.

$$q=\frac{178}{6}$$

Reduceți fracția \frac{178}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$q=\frac{89}{3}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{143±35}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 35 din 143.

$$q=\frac{108}{6}$$

Împărțiți 108 la 6.

$$q=18$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{89}{3} și x_{2} cu 18.

$$3q^{2}-143q+1602=3\left(q-\frac{89}{3}\right)\left(q-18\right)$$

Scădeți \frac{89}{3} din q găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3q^{2}-143q+1602=3\times \frac{3q-89}{3}\left(q-18\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3q^{2}-143q+1602=\left(3q-89\right)\left(q-18\right)$$

Evaluați

$$\left(q-18\right)\left(3q-89\right)$$