Rezolvați 3q^2-12q=15

$$3 q ^ { 2 } - 12 q = 15$$

Rezolvați pentru q

$$q=-1$$

$$q=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 15 din ambele părți.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$q^{2}-4q-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca q^{2}+aq+bq-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-5 b=1$$

Rescrieți q^{2}-4q-5 ca \left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right).

$$\left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right)$$

Scoateți factorul comun q din q^{2}-5q.

$$q\left(q-5\right)+q-5$$

Scoateți termenul comun q-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(q-5\right)\left(q+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați q-5=0 și q+1=0.

$$q=5 q=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3q^{2}-12q=15$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$3q^{2}-12q-15=15-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -12 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -15.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 3}$$

Adunați 144 cu 180.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 3}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$q=\frac{12±18}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$q=\frac{12±18}{6}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{12±18}{6} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 18.

$$q=\frac{30}{6}$$

Împărțiți 30 la 6.

$$q=5$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{12±18}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din 12.

$$q=-\frac{6}{6}$$

Împărțiți -6 la 6.

$$q=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$q=5 q=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-12q=15$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3q^{2}-12q}{3}=\frac{15}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$q^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)q=\frac{15}{3}$$

Împărțiți -12 la 3.

$$q^{2}-4q=\frac{15}{3}$$

Împărțiți 15 la 3.

$$q^{2}-4q=5$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$q^{2}-4q+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$q^{2}-4q+4=5+4$$

Adunați 5 cu 4.

$$q^{2}-4q+4=9$$

Factor q^{2}-4q+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-2\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(q-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$q-2=3 q-2=-3$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$q=5 q=-1$$