Rezolvați 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Rezolvați pentru p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3p^{2}+ap+bp+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți 3p^{2}-8p+5 ca \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Factor p în primul și -1 în al doilea grup.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Scoateți termenul comun 3p-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3p-5=0 și p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -8 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{8±2}{6} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{8±2}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$p=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați -\frac{5}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$