Rezolvați 3n^2-7n-370=0

$$3 n ^ { 2 } - 7 n - 370 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n=-10$$

$$n = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} \approx 12,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn-370. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=3\left(-370\right)=-1110$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1110.

$$1,-1110 2,-555 3,-370 5,-222 6,-185 10,-111 15,-74 30,-37$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1110=-1109 2-555=-553 3-370=-367 5-222=-217 6-185=-179 10-111=-101 15-74=-59 30-37=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-37 b=30$$

Rescrieți 3n^{2}-7n-370 ca \left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right).

$$\left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)$$

Factor n în primul și 10 în al doilea grup.

$$n\left(3n-37\right)+10\left(3n-37\right)$$

Scoateți termenul comun 3n-37 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3n-37\right)\left(n+10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3n-37=0 și n+10=0.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -7 și c cu -370 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -370.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4440}}{2\times 3}$$

Adunați 49 cu 4440.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4489.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±67}{2\times 3}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$n=\frac{7±67}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{7±67}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{7±67}{6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 67.

$$n=\frac{74}{6}$$

Reduceți fracția \frac{74}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{37}{3}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{7±67}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 67 din 7.

$$n=-\frac{60}{6}$$

Împărțiți -60 la 6.

$$n=-10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Adunați 370 la ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}-7n-370-\left(-370\right)=-\left(-370\right)$$

Scăderea -370 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}-7n=-\left(-370\right)$$

Scădeți -370 din 0.

$$3n^{2}-7n=370$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=\frac{370}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=\frac{370}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{370}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{370}{3}+\frac{49}{36}$$

Adunați \frac{370}{3} cu \frac{49}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{4489}{36}$$

Factor n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{67}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{67}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$