Rezolvați 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-9 b=5$$

Rescrieți 3n^{2}-4n-15 ca \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Factor 3n în primul și 5 în al doilea grup.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Scoateți termenul comun n-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-3=0 și 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -4 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{4±14}{6} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Împărțiți 18 la 6.

$$n=3$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{4±14}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Împărțiți 15 la 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Adunați 5 cu \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$