Rezolvați 3n^2-16n+20

$$3 n ^ { 2 } - 16 n + 20$$

Descompunere în factori

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn+20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=3\times 20=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-10 b=-6$$

Rescrieți 3n^{2}-16n+20 ca \left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right).

$$\left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right)$$

Factor n în primul și -2 în al doilea grup.

$$n\left(3n-10\right)-2\left(3n-10\right)$$

Scoateți termenul comun 3n-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-16n+20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 20.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu -240.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 3}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$n=\frac{16±4}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{16±4}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{16±4}{6} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 4.

$$n=\frac{20}{6}$$

Reduceți fracția \frac{20}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{10}{3}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{16±4}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 16.

$$n=\frac{12}{6}$$

Împărțiți 12 la 6.

$$n=2$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{10}{3} și x_{2} cu 2.

$$3n^{2}-16n+20=3\left(n-\frac{10}{3}\right)\left(n-2\right)$$

Scădeți \frac{10}{3} din n găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3n^{2}-16n+20=3\times \frac{3n-10}{3}\left(n-2\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3n^{2}-16n+20=\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Evaluați

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$