Rezolvați 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Scădeți 5 din -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 47 și c cu -237 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 47 la pătrat.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Adunați 2209 cu 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -47 cu \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{5053} din -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Adunați 232 la ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Scăderea -232 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Scădeți -232 din 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Împărțiți 237 la 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Împărțiți \frac{47}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{47}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{47}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{47}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Adunați 79 cu \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Factor n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Scădeți \frac{47}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$