Rezolvați 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Rezolvați pentru n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 8 din ambele părți.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-2 b=12$$

Rescrieți 3n^{2}+10n-8 ca \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Factor n în primul și 4 în al doilea grup.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3n-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3n-2=0 și n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}+10n=8$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 10 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Adunați 100 cu 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-10±14}{6} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-10±14}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Împărțiți -24 la 6.

$$n=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Împărțiți \frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Scădeți \frac{5}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$