Rezolvați 3f^2+3f-18=0

$$3 f ^ { 2 } + 3 f - 18 = 0$$

Rezolvați pentru f

$$f=-3$$

$$f=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$f^{2}+f-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca f^{2}+af+bf-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-2 b=3$$

Rescrieți f^{2}+f-6 ca \left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right).

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right)$$

Factor f în primul și 3 în al doilea grup.

$$f\left(f-2\right)+3\left(f-2\right)$$

Scoateți termenul comun f-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(f-2\right)\left(f+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați f-2=0 și f+3=0.

$$f=2 f=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 3 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -18.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 3}$$

Adunați 9 cu 216.

$$f=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$f=\frac{-3±15}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$f=\frac{-3±15}{6}$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{-3±15}{6} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 15.

$$f=\frac{12}{6}$$

Împărțiți 12 la 6.

$$f=2$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{-3±15}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -3.

$$f=-\frac{18}{6}$$

Împărțiți -18 la 6.

$$f=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$f=2 f=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Adunați 18 la ambele părți ale ecuației.

$$3f^{2}+3f-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Scăderea -18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3f^{2}+3f=-\left(-18\right)$$

Scădeți -18 din 0.

$$3f^{2}+3f=18$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3f^{2}+3f}{3}=\frac{18}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$f^{2}+\frac{3}{3}f=\frac{18}{3}$$

Împărțiți 3 la 3.

$$f^{2}+f=\frac{18}{3}$$

Împărțiți 18 la 3.

$$f^{2}+f=6$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{1}{4}.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor f^{2}+f+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} f+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$f=2 f=-3$$