Rezolvați 3c^2-16c-21=0

$$3 c ^ { 2 } - 16 c - 21 = 0$$

Rezolvați pentru c

$$c = \frac{\sqrt{127} + 8}{3} \approx 6,423142557$$

$$c=\frac{8-\sqrt{127}}{3}\approx -1,089809223$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3c^{2}-16c-21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -16 și c cu -21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -21.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+252}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu 252.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{508}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 508.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{127}}{2\times 3}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$c=\frac{16±2\sqrt{127}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$c=\frac{16±2\sqrt{127}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{16±2\sqrt{127}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 2\sqrt{127}.

$$c=\frac{2\sqrt{127}+16}{6}$$

Împărțiți 16+2\sqrt{127} la 6.

$$c=\frac{\sqrt{127}+8}{3}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{16±2\sqrt{127}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{127} din 16.

$$c=\frac{16-2\sqrt{127}}{6}$$

Împărțiți 16-2\sqrt{127} la 6.

$$c=\frac{8-\sqrt{127}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$c=\frac{\sqrt{127}+8}{3} c=\frac{8-\sqrt{127}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3c^{2}-16c-21=0$$

Adunați 21 la ambele părți ale ecuației.

$$3c^{2}-16c-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Scăderea -21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3c^{2}-16c=-\left(-21\right)$$

Scădeți -21 din 0.

$$3c^{2}-16c=21$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3c^{2}-16c}{3}=\frac{21}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$c^{2}-\frac{16}{3}c=\frac{21}{3}$$

Împărțiți 21 la 3.

$$c^{2}-\frac{16}{3}c=7$$

Împărțiți -\frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$c^{2}-\frac{16}{3}c+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$c^{2}-\frac{16}{3}c+\frac{64}{9}=7+\frac{64}{9}$$

Adunați 7 cu \frac{64}{9}.

$$c^{2}-\frac{16}{3}c+\frac{64}{9}=\frac{127}{9}$$

Factor c^{2}-\frac{16}{3}c+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(c-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{127}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(c-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{127}{9}}$$

Simplificați.

$$c-\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{127}}{3} c-\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{127}}{3}$$

Adunați \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$c=\frac{\sqrt{127}+8}{3} c=\frac{8-\sqrt{127}}{3}$$