Rezolvați 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -8 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Împărțiți 8+2\sqrt{61} la 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{61} din 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Împărțiți 8-2\sqrt{61} la 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Împărțiți 15 la 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Adunați 5 cu \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Factor b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$