Rezolvați 3(2y-1)^2-(2y-1)=0

$$3 ( 2 y - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 y - 1 ) = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2y-1\right)^{2}.

$$3\left(4y^{2}-4y+1\right)-\left(2y-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 4y^{2}-4y+1.

$$12y^{2}-12y+3-\left(2y-1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2y-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$12y^{2}-12y+3-2y+1=0$$

Combinați -12y cu -2y pentru a obține -14y.

$$12y^{2}-14y+3+1=0$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$12y^{2}-14y+4=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$6y^{2}-7y+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6y^{2}+ay+by+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-4 b=-3$$

Rescrieți 6y^{2}-7y+2 ca \left(6y^{2}-4y\right)+\left(-3y+2\right).

$$\left(6y^{2}-4y\right)+\left(-3y+2\right)$$

Factor 2y în primul și -1 în al doilea grup.

$$2y\left(3y-2\right)-\left(3y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-2\right)\left(2y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3y-2=0 și 2y-1=0.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2y-1\right)^{2}.

$$3\left(4y^{2}-4y+1\right)-\left(2y-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 4y^{2}-4y+1.

$$12y^{2}-12y+3-\left(2y-1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2y-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$12y^{2}-12y+3-2y+1=0$$

Combinați -12y cu -2y pentru a obține -14y.

$$12y^{2}-14y+3+1=0$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$12y^{2}-14y+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -14 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 12\times 4}}{2\times 12}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 12\times 4}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-48\times 4}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-192}}{2\times 12}$$

Adunați 196 cu -192.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{4}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±2}{2\times 12}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$y=\frac{14±2}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$y=\frac{14±2}{24}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{14±2}{24} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2.

$$y=\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$y=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{14±2}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 14.

$$y=\frac{12}{24}$$

Reduceți fracția \frac{12}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2y-1\right)^{2}.

$$3\left(4y^{2}-4y+1\right)-\left(2y-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 4y^{2}-4y+1.

$$12y^{2}-12y+3-\left(2y-1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2y-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$12y^{2}-12y+3-2y+1=0$$

Combinați -12y cu -2y pentru a obține -14y.

$$12y^{2}-14y+3+1=0$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$12y^{2}-14y+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$12y^{2}-14y=-4$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12y^{2}-14y}{12}=-\frac{4}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$y^{2}+\left(-\frac{14}{12}\right)y=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y^{2}-\frac{7}{6}y=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y^{2}-\frac{7}{6}y=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{7}{6}y+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{7}{6}y+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{7}{6}y+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Factor y^{2}-\frac{7}{6}y+\frac{49}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} y-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Adunați \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{1}{2}$$