Rezolvați 3(frac{7+2sqrt{10}}{3})^2+4*(frac{7+2sqrt{10}}{3})*(frac{7-2sqrt{10}}{3})-3*(frac{7-2sqrt{10}}{3})^2

$$3 ( \frac { 7 + 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) ^ { 2 } + 4 \times ( \frac { 7 + 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) \times ( \frac { 7 - 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) - 3 \times ( \frac { 7 - 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) ^ { 2 }$$

Evaluați

$$\frac{56\sqrt{10}}{3}+4\approx 63,02918299$$

Pașii soluției scurte

Pentru a ridica \frac{7+2\sqrt{10}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$3\times \frac{\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Exprimați 3\times \frac{\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{3\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Reduceți prin eliminare 3 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Exprimați 4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3} ca fracție unică.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Înmulțiți \frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)}{3} cu \frac{7-2\sqrt{10}}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 3\times 3 este 3\times 3. Înmulțiți \frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3} cu \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3\times 3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Deoarece \frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3\times 3} și \frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Pentru a ridica \frac{7-2\sqrt{10}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \frac{\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}$$

Exprimați 3\times \frac{\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{3\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}$$

Reduceți prin eliminare 3 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{\left(-2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-2\sqrt{10}+7\right)^{2}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Pătratul lui \sqrt{10} este 10.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{4\times 10-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Înmulțiți 4 cu 10 pentru a obține 40.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{40-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Adunați 40 și 49 pentru a obține 89.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 3\times 3 și 3 este 3\times 3. Înmulțiți \frac{89-28\sqrt{10}}{3} cu \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3}$$

Deoarece \frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3} și \frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}.

$$\frac{3\left(4\left(\sqrt{10}\right)^{2}+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Pătratul lui \sqrt{10} este 10.

$$\frac{3\left(4\times 10+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Înmulțiți 4 cu 10 pentru a obține 40.

$$\frac{3\left(40+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Adunați 40 și 49 pentru a obține 89.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Înmulțiți 3 cu 3 pentru a obține 9.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 9 și 3 este 9. Înmulțiți \frac{89-28\sqrt{10}}{3} cu \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9}-\frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9}$$

Deoarece \frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9} și \frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9}$$

Faceți înmulțiri în 3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right).

$$\frac{267+84\sqrt{10}+196-56\sqrt{10}+56\sqrt{10}-160-267+84\sqrt{10}}{9}$$

Faceți calcule în 267+84\sqrt{10}+196-56\sqrt{10}+56\sqrt{10}-160-267+84\sqrt{10}.

$$\frac{36+168\sqrt{10}}{9}$$

Descompunere în factori

$$\frac{4 {(14 \sqrt{10} + 3)}}{3} = 63,029182989809755$$