Rezolvați 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Rezolvați pentru z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca z^{2}+az+bz+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=2$$

Rescrieți z^{2}+3z+2 ca \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Factor z în primul și 2 în al doilea grup.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Scoateți termenul comun z+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați z+1=0 și z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 9 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Adunați 81 cu -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-9±3}{6} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Împărțiți -6 la 6.

$$z=-1$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-9±3}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$z=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=-1 z=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Împărțiți 9 la 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Împărțiți -6 la 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$z=-1 z=-2$$