Rezolvați 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Pașii soluției

Pentru a descompune în factori expresia, rezolvați ecuația în care este egală cu 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -40 și q împarte coeficientul inițial 3. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 la x+2 pentru a obține 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Pentru a factor rezultat, rezolvați ecuația în care este egal cu 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -20 și q împarte coeficientul inițial 3. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{5}{3}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 la 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 pentru a obține x^{2}+4. Pentru a factor rezultat, rezolvați ecuația în care este egal cu 0.

$$x^{2}+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 4.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polinomul x^{2}+4 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$x^{2}+4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$