Rezolvați 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-372. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -1116 de produs.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-36 b=31$$

Rescrieți 3x^{2}-5x-372 ca \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3x din primul și 31 din cel de-al doilea grup.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-12=0 și 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -5 și c cu -372 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±67}{6} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Împărțiți 72 la 6.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±67}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 67 din 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-62}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Adunați 372 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Scăderea -372 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Scădeți -372 din 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Împărțiți 372 la 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Adunați 124 cu \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Factorul x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$