Rezolvați 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -4 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{31} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{31} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{31} la 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Împărțiți 9 la 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Adunați 3 cu \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$