Rezolvați 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-60. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -31.

$$a=-36 b=5$$

Rescrieți 3x^{2}-31x-60 ca \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Factor 3x în primul și 5 în al doilea grup.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -31 și c cu -60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -31 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Adunați 961 cu 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Opusul lui -31 este 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{31±41}{6} atunci când ± este plus. Adunați 31 cu 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Împărțiți 72 la 6.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{31±41}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 41 din 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Adunați 60 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Scăderea -60 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Scădeți -60 din 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Împărțiți 60 la 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Împărțiți -\frac{31}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{31}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{31}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{31}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Adunați 20 cu \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Adunați \frac{31}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$