Rezolvați 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -2 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Adunați 4 cu -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{26} la 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{26} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{26} la 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Împărțiți -9 la 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Adunați -3 cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$