Rezolvați 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 18 din ambele părți.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-6 b=1$$

Rescrieți x^{2}-5x-6 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-15x=18$$

Scădeți 18 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Scăderea 18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -15 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Adunați 225 cu 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±21}{6} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Împărțiți 36 la 6.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±21}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Împărțiți -6 la 6.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x=18$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Împărțiți -15 la 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Împărțiți 18 la 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-1$$